円のパッキング: デカルトの円定理セレステ・ウィリアムズの指示された調査、それは何ですか?

デカルトのCircle Theoremは一緒に「梱包された」、接した円の半径の中で関係にかかわります。

関係は、また、かかわった半径の逆数であるそれぞれの円の湾曲を使用することで表現されます。  この記事はバックグラウンドと問題がデカルトのCircle Theoremに関連する材料を含んでいます。

平面/ストランド:

レッスンは接した円を研究した高校の幾何学の学生のために設計されています。

授業時間:

レッスンは、指示された調査としてクラスの外でするように設計されています。

材料:

材料を全く必要としませんが、GeometerのSketchpadの助けで調査ができます。

前提条件:

学生は、GeometerのSketchpadと共に軽快であるべきであり、二次方程式を解決する用意ができているべきです。

序論:

特に高校幾何学から学習されるために新しいものは何もないくらいには数学は確立されません。  アラン・ウイルクス(ニュージャージーのAT&T研究所の統計学者)は彼の娘の宿題課題を熟考し続けていた同僚と共に1998年の会議で談話しましたが。  質問はそれの中で合う2つの一致していて、「キスしている」(接した)円(半径_の)に大きい円(半径1の)の接線で作られたパターンに関係がありました。  問題は、図1のように最も小さい円の半径(r)がすべての3つの既存の円に接しているのがわかることでした。

図1。  入れ子にされた接線はr=を旋回しますか?

会議が終わった後に、1/2 1 1/2Circle Packingウイルクスは、円の問題を熟考しました。  彼は感動的な円の相対的サイズに関して不思議でした。  そして、彼は、第1代問題で従事するようになる数学者ではありませんでした。

1643年に、フランス人の数学者レネイ・デカルトは、4つの接した円の湾曲を関係づける公式を開発しました。 (コークスター、1969)

デカルトのCircle Theorem Given、湾曲を伴う4つの互いに接した円、2、図のデカルトCircle Equationとしてのb、c、およびdは(1/2)(+b+c+d)それ(a2+b2+c2+d2)=2を指定します。そこでは、円の湾曲が半径の逆数と定義されます。

図2。 円の湾曲を見るd c b Another方法がユニットの円周を比較しながら比率を形成しながらある互いに接した円は特定の円の円周に旋回します。  円の半径が3であれば、湾曲は、2!/6か!1/3でしょう。

また、湾曲、半径rの円への1/rは、何かその円の円周の部分を歩くのに従ってあなたがどれくらい速くターンしているかを説明します。  角度θ=d(1/r)であなたはターンするでしょう、あなたが円でdをある一定の距離で歩いたならdがrθと等しいので。

接したサークルパターンに収まるあらゆるその後の、そして、より小さい円のサイズを指定するのにデカルトのCircle Equationを使用できます。  例えば、図3湾曲である、b、およびcは知られていて、そして、この方程式は湾曲(d)と等しい1つの根がある未知の湾曲で二次方程式です。

図3。 他の円を同封する、1がある両方の図1と3のAsが旋回するMutually Tangent CirclesCircle Packing e d c bの2Sets、Circle Equationが成立するように、湾曲の定義の適合は採用されなければなりません。  すなわち、同封円の湾曲が否定的であるなら(より大きい円=の湾曲--図1と3の1)、二次方程式は成立します。  一般用語で、すべてのポイントの接触状態が外部であるなら、湾曲は積極的であると考えられていますが、1つの円が他のものを取り囲むなら、その円には、負曲率があります。  図3、湾曲、b、c、およびdには、湾曲eが否定的である間、積極的な湾曲があります。  図3で湾曲でデカルトのCircle Theoremを適用する、b、c、d、e、湾曲d、およびeはxの以下の二次多項式の積極的で否定的なルーツです:

(a2+b2+c2+x2) = (1/2)(+b+c+x)2 . これを示しているために、デカルトのTheoremがdとeが以来ともに接している湾曲で両方の円に適用すると考えてください、b(c)  符号規約以外に、中または外で接しているのに関する定理には何もありません。

どのようにレーダーへ

二次方程式のためのRoot Sum Theoremがそれを述べるので、ウイルクスが気付いた、多項式の根rとs--

斧の2+bx+c=0には製品cと合計?bがあります、そして、bが整数であるか、そして、ルーツの1つが整数であるので、そして、また、もう片方の根は整数であるに違いありません。  したがって、4つの初期の円の湾曲が整数であれば、もう片方の根eは整数です。 その上、追加接した円がそのような図の穴をふさぐために構成されるなら、また、あらゆるその後の接した円の湾曲は整数です。

他の人々はデカルトCircle Equationの心を奪われて、使用されました。  ノーベル賞の勝利Chemistフレディリックソディ(1936)が書いた、「キス正確である、」 中央詩は以下の通りでのデカルトのCircle Equationに関して:

Smallerはbenterです、キスへの4つの円が来て、湾曲はただセンターからの距離の逆です。

経験則、Sinceゼロ湾曲が死んでいる直線であったので、それらの陰謀はユークリッドdumbCircle Packing Thereのものを現在のどんな必要性にも残しませんでしたが、すべての4の二乗の合計はIs半分を曲げます。彼らの合計の正方形。

ウイルクスの熟考とデカルトのCircle Equationとの接続はパークシティMathematics Institute2002で起きました。 私がガウスの整数を使用する朝の理論数学セッションへの私の魅力について彼に言ったとき、ジェフLagarias(AT&Tの数学の研究者)が非公式の昼食の会話におけるパッキング円の話題を私に紹介した、(複素数、フォームの+、両性愛者、どこ、bが整数であるか、)  ジェフは、オリジナルの円を梱包する問題を私に示しましたが、ガウスの整数との接続を私に見せているために一歩先まで踏み込みました。  彼は、センター(複素平面の)とその湾曲が掛けられるとき、ガウスの整数があらゆる円に生産されると話しました。  このガウスの整数接続が好奇心をそそっている間、ほとんどの高校生はその接続の準備ができていません。  しかしながら、彼らが接した円について考え始めるのをさせるために、彼らの教師がGaussian接続を探るよう奨励されている間(以下でのウイルクスの参照を見てください)、以下のワークシートは湾曲とデカルトのCircle Equationだけに焦点を合わせます。

参照:

コークスター、H.M.S.1969。 幾何学への序論。 ニューヨーク:  ジョン・ワイリーとソンスInc.、ページ11-13。

  ピーターソン、I.2001でウイルクスの調査結果、湾曲、およびガウスの整数に関する詳細を見つけることができます。  ゲームを旋回してください。  オンライン科学ニュース(4月21日)。   ソディ、F.1936では、利用可能です。  「キス正確である、」、ネイチャー(137)、1021

サイクス、M.1912。  幾何学のための問題の底本。  パロアルト(カリフォルニア)、: デールシーモアPublications。

質問1の答え。 6

2. 2

3. 5

4. 3

5. よりわずかな6。 1

7. _; 2

8. _; 2

9. 1/3; 3

10. 2

11. 2

12. 15

13. 3; 1/3Circleパッキング14。 2

 15. 2

 16. 3

 17. 1; ?1

 18. No.19。 1/6

 20. 6

 21. 1/6

 22. 6

 23. 長方形。

 24. セグメントABの垂直二等分線。

 25. 工事:

セグメントABを考えて、図を構成してください。

1. セグメントABを描いてください。

2. D.3でセグメントABの中点を構成してください。 半径としてセンターとDAとしてのDを使用して、円のD.4を描いてください。 セグメントABの垂直二等分線と円Dが満たされる場所ポイントC。

5. セグメントの中点を構成してください。S.6のセグメントDBのRと中点の西暦。 構造物円: 半径RDと円Sと共に半径SDでRを旋回してください。

7. 2COがODと等しいように、セグメントCDを三分してください。

8. Oを通して、構造物セグメントOYはセグメントにRDに沿います。

物理的な特徴は、イタリアの決済に影響を与えたもの

9. ポイントJ.Let HがセグメントRIの交差点のポイントであり、Rを旋回するとき、ポイントI.LabelとしてのRのセグメントABへのセグメントOYと垂線の交差点をポイントSのセグメントへのセグメントOYと垂線の交差点とラベルしてください。 10.Drawが旋回するセグメントJSと円のS.の交差点のポイントが私であったならば半径JKがある半径IHと円Jと共にKをさせてください。  円の接点をラベルしてください: 私、RポイントH.Labelが円JとSの接点をそうする、:

K.K H C I J B A O R D S Y*を指してください。円Dだけにかかわるためにこの工事を簡素化できました、R、S、この図の工事について工夫するO.Circle Packing**別の方法は、長方形RIJSから後方に働くことであるかもしれません。  側に3:2の比率に従った長さ1と2/3があるなら、これは最も簡単です。  そして、円は、前の問題で推論された長方形と半径の頭頂を使用することで構成されるでしょう。

***おもしろい添加は、彼らが、円Jと円Sが実際に接しているとどうしたら立証できたかを学生に尋ねることであるかもしれません。  (JK+KSはJSと等しいです)

26. D: r=1/102c=102E: r=1/6cは-6Fと等しいです: r=1/15c=15G: r=1/26c=26H: r=1/110c=110I: r=1/51c=51J: r=1/42cは42Kと等しいです: r=1/86cは86と等しいです。オリジナルの問題における3つの円の値を考えて、↓これは最初の接した円の湾曲の解決策です。

?

 /円IとJの9部門はそうです!半円ACBの1/6領域はそうです!/円RとSの2.Circle Packing Areasはそうです!/4(位置のため、半円でこれらの円の領域の半分を必要とするだけです)円Oの部門はそうです!/半円ACBでの円と半円の36の結合した部門は5!/12です;   2(1/2)(/4)+! /9+2(/36)=! /4+! //18 = 5!/12Areaが半円ACB=! /1/6であるACB!/2--5!/12=! /12における円と半円の半円ACB?Combined部門の12Areaで占領しなかった9 半円ACBの領域

Circle Packing: A Directed Investigation of Descartes' Circle Theorem

Celeste Williams

What Is It?

Descartes' Circle Theorem involves relationships among radii of tangent circles, "packed" together.

The relationship is expressed using the curvature of each circle, which is also the reciprocal of the

radius involved.  This article contains background and material with problems related to Descartes'

Circle Theorem.

Grade Level/Strand:

The lesson is designed for high school geometry students who have studied tangent circles.

Class Time:

The lesson is designed to be done outside of class as a directed investigation.

Materials:

No materials are required but the investigation can be done with the help of The Geometer's

Sketchpad.

Prerequisites:

Students should be facile with Geometer's Sketchpad and should be prepared to solve quadratic

equations.

Introduction:

Mathematics is not so established that there is nothing new to be learned, especially from

high school geometry.  While at a conference in 1998, Allan Wilks, a statistician at AT&T

Laboratories in New Jersey, had a conversation with a colleague who had been pondering his

daughter's homework assignment.  The question concerned a pattern made up of a large circle (of

radius 1) tangent to two congruent, "kissing" (tangent) circles (of radius _) that fit inside it.  The

problem was to find the radius (r) of the smallest circle tangent to all three existing circles as in

Figure 1.

Figure 1.  Nested tangent circles

r = ?

 1/2

1

1/2Circle Packing

Wilks contemplated the circle problem after the conference ended.  He was curious about

the relative sizes of the touching circles.  And he was not the first mathematician to become

engaged in the problem.

In 1643, French mathematician Rene Descartes developed a formula relating the curvatures

of four tangent circles. (Coxeter, 1969)

        Descartes' Circle Theorem

Given four mutually tangent circles with curvatures a, b, c, and d as in Figure 2, the Descartes

Circle Equation specifies that (a

2

 + b

2

 + c

2

 + d

2

) = (1/2)(a + b + c + d)

2

, where the curvature

of a circle is defined as the reciprocal of its radius.

Figure 2. Mutually tangent circles

a

d

c

b

Another way of looking at curvature of a circle is by forming a ratio comparing the

あなたはproablityをどのように見つけ出すか

circumference of the unit circle to the circumference of the given circle.  If the radius of a circle is

3, then the curvature would be 2!/6! or 1/3.

Curvature, 1/r, for a circle of radius r also describes how fast you are turning as you walk

any part of the circumference of that circle.  If you walked a certain distance d on a circle then you

would turn by angle θ = d(1/r), since

d = rθ.

Descartes' Circle Equation can be used to specify the size of every subsequent, smaller

circle that fits into the tangent circle pattern.  For example in Figure 3, if the curvatures a, b, and c

are known, then this equation is a quadratic equation in the unknown curvature with one root equal

to the curvature, d.

Figure 3. Two Sets of Mutually Tangent CirclesCircle Packing

e

d

c

b

a

As in both Figures 1 and 3 with one circle enclosing other circles, an adaptation of the

definition of curvature has to be adopted for the Circle Equation to hold.  That is, the quadratic

equation holds if the curvature of the enclosing circle is negative (curvature of the larger circle = –1

in Figures 1 and 3).  In lay terms, if all the points of tangency are external, the curvatures are

considered positive, but if one circle encompasses the others, that circle has negative curvature.  In

Figure 3, curvatures a, b, c, and d have positive curvature while curvature e is negative.  Applying

Descartes' Circle Theorem in Figure 3 with curvatures, a, b, c, d, and e, the curvatures d and e are

the positive and negative roots of the following quadratic polynomial in x:

(a2

 + b2

 + c2

 + x2

) = (1/2)(a + b + c + x)2

.

To show this, consider that Descartes' Theorem applies to both circles with curvatures d and e since

both are tangent to a, b, c.  There is nothing in the theorem about being tangent inside or outside,

except for the sign convention.

Wilks realized because the Root Sum Theorem for quadratics states that the roots r and s of

polynomial 

€

ax

2

+ bx + c = 0 have product c and sum –b, and because if b is an integer and one of

the roots is an integer, then the other root must also be an integer.  Thus, if the curvatures of the four

initial circles are integers, the other root e is an integer. Furthermore, if additional tangent circles are

constructed to fill in the holes in such a figure, the curvature of every subsequent tangent circle is

also an integer.

Other people have been fascinated by and used the Descartes Circle Equation.  Nobel Prize

winning Chemist Frederick Soddy (1936) wrote "The Kiss Precise" about Descartes' Circle

Equation with a middle verse as follows:

Four circles to the kissing come,

The Smaller are the benter,

The bend is just the inverse of

The distance from the centre.

Though their intrigue left Euclid dumbCircle Packing

There's now no need for rule of thumb,

Since zero bend's a dead straight line

The sum of the squares of all four bends

Is half the square of their sums.

A connection to Wilks' contemplation and Descartes' Circle Equation arose at the Park City

Mathematics Institute 2002. Jeff Lagarias, a mathematical researcher at AT&T, introduced me to

the topic of packing circles in an informal lunch conversation when I told him of my fascination

with the morning theoretical mathematics sessions using Gaussian integers (complex numbers in the

form a + bi where a and b are integers).  Jeff showed me the original circle-packing problem but

went a step farther to show me a connection to Gaussian integers.  He related that a Gaussian

integer is produced for every circle when its center (in a complex plane) and its curvature are

multiplied.  While this Gaussian integer connection is intriguing, most high school students are not

ready for that connection.  However, to get them to begin thinking about tangent circles, the

following worksheets focus only on curvature and Descartes' Circle Equation while their teachers

are encouraged to explore the Gaussian connection (see the Wilks reference below).

References:

Coxeter, H. M. S. 1969. Introduction to Geometry. New York:  John Wiley & Sons, Inc., pp. 11-13.

Further information on Wilks' findings, curvature and Gaussian integers can be found at

Peterson, I. 2001.  Circle Game.  Science News Online (April 21). Available at

Soddy, F. 1936.  "The Kiss Precise," Nature (137), 1021.

Sykes, M. 1912.  Sourcebook of Problems for Geometry.  Palo Alto, CA: Dale Seymour

Publications.

ANSWERS TO QUESTIONS

1. 6

2. 2

3. 5

4. 3

5. Smaller

6. 1

7. _; 2

8. _; 2

9. 1/3; 3

10. 2

11. 2

12. 15

13. 3; 1/3Circle Packing

 14. 2

 15. 2

 16. 3

 17. 1; –1

 18. No.

 19. 1/6

 20. 6

 21. 1/6

 22. 6

 23. A rectangle.

 24. Perpendicular bisector of segment AB.

 25. Construction:

Given segment AB, construct the figure.

1. Draw segment AB.

2. Construct midpoint of segment AB at D.

3. Using D as center and DA as radius, draw circle D.

4. Place point C where perpendicular bisector of segment AB and circle D meet.

5. Construct midpoint of segment AD at R and midpoint of segment DB at S.

6. Construct circles: circle R with radius RD and circle S with radius SD.

7. Trisect segment CD, so that 2CO = OD.

8. Through O, construct segment OY parallel to segment RD.

9. Label the intersection of segment OY and the perpendicular to segment AB at R as

point I.  Label the intersection of segment OY and the perpendicular to segment at

point S as point J.  Let H be the point of intersection of segment RI and circle R; let

K be the point of intersection of segment JS and circle S.

10.Draw circle I with radius IH and circle J with radius JK.  Label the point of

tangency of circles: I and R point H. Label the point of tangency of circles J and S:

point K.

K

H

C

I

J

B

A

O

R D S

Y

* This construction could be simplified to involve only circles D, R, S and O.Circle Packing

** Another way to devise the construction of this figure could be by working

backwards from rectangle RIJS.  This is easiest if the sides have lengths 1 and 2/3

with a ratio of 3:2.  The circles would then be constructed using the vertices of the

rectangle and the radii deduced in previous problems.

***An interesting addition might be to ask the students how they could prove that

circle J and circle S are actually tangent.  (JK + KS = JS)

26. D: r = 1/102

     c = 102

E: r = 1/6

c = -6

F: r = 1/15

c = 15

G: r = 1/26

c = 26

H: r = 1/110

c = 110

I: r = 1/51

    c = 51

J: r = 1/42

c = 42

K: r = 1/86

     c = 86

The following is the solution for the curvature of the first tangent circle given the 3 circle values

in the original problem.

€

a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

= (1/2)(a + b + c + d)

2

14

2

+ 11

2

+ 23

2

+ x

2

= (1/2)(14 + 11+ 23 + x _

2

846 + x

2

= (1/2)(48 + x)

2

846 + x

2

= (1/2)(2304 + 96x + x

2

(

1692 + 2x

2

= 2304 + 96x + x

2

x

2

− 96x − 612 = 0

(x −102)(x + 6) = 0

x = 102

** It is also possible to employ the Root Sum Theorem to determine the solution.

           If x

2

 + bx + c = 0 and (x – r1)(x – r2) = x

2

 –x(r1 +  r2) + r1 r2, then –b = r1 +  r2.

Answer to Extended Question:  1/6

Area of semicircle ACB is !/2.Circle Packing

Areas of circles R and S are !/4 (only need half of these circle areas because of location in

semicircle).

Area of circle O is !/9.

Area of circles I and J are !/36.

Combined area of circles and semicircles in semicircle ACB is 5!/12.

2(1/2)(!/4) + !/9 + 2(!/36) = !/4 + !/9 + !/18 = 5!/12

Area not occupied in semicircle ACB = !/12

            Area of semicircle ACB  – Combined area of circles and semicircles in ACB